Logiciel ÉPICENTRE
calcul au vent, calcul sismique 
des bâtiments contreventés par des voiles 
 
Calculs dynamiques : compléments divers
Chargements statiques équivalents
Chargement statique équivalent d'un mode pour une direction donnée
La méthode de l'analyse modale spectrale étudie séparément l'action de chaque mode sur le bâtiment, pour chacune des deux directions sismiques de calcul.
Nous avons vu que les mouvements d'ensemble du bâtiment générés par les actions sismiques provoquent l'apparition de forces d'inertie appliquées aux centres de gravité des planchers d'étage.
Ce sont les valeurs maximum de ces forces d'inertie, pour un mode donné, qui constituent le chargement statique équivalent de ce mode, pour la direction de calcul considérée.
Formules de calcul des PS 92
Le moins que l'on puisse dire est que les règles PS 92 ne sont pas très explicites sur le sujet !
Aucune formule n'est donnée dans l'article consacré à l'analyse modale spectrale (art. 6.62) : cela aurait pourtant été plus clair pour tout le monde...

Nous avons vu que chaque plancher d'étage peut se déplacer horizontalement selon 3 degrés de liberté : deux composantes de translation et un angle de torsion d'ensemble.

Considérons un mode propre i du bâtiment (de période Ti) et appelons Dx, Dy et Théta les déplacements modaux d'un de ses planchers pour le mode i (composantes de la déformée du mode i au niveau de ce plancher, calculées lors de l'analyse modale du bâtiment).

Il va leur correspondre trois "forces" d'inertie Fi : deux forces horizontales Fx et Fy et un couple de torsion C.

Les formules suivantes donnent les valeurs de ces trois "forces" d'inertie attachées au plancher (masse m, moment d'inertie massique j) pour une direction sismique d'angle θ par rapport à l'axe des X :
 
      Fx = m . Dx . Pi(θ) . R(Ti)
      Fy = m . Dy . Pi(θ) . R(Ti)
      C  = j . Théta . Pi(θ) . R(Ti)
 
Avec R(Ti) = aN . ρ . τ . RD(Ti)    (art. 5.2)
 
    aN: accélération nominale (m/s² (art. 3.3)
    ρ: correction d'amortissement (art. 5.234)
    τ: coefficient d'amplification topographique (art. 5.24)
    RD(Ti): ordonnée du spectre de dimensionnement normalisé correspondant à Ti (art. 5.232)

La quantité Pi(θ) est le facteur de participation du mode i pour la direction θ. Cette notion est explicitée dans une des rubriques suivantes.

Fx, Fy et C sont bien entendu appliqués au centre gravité du plancher.
Si n est le nombre de planchers du bâtiment, chaque chargement statique équivalent modal pour une des deux directions de calcul comprend donc 3n composantes.
Les chargements statiques équivalents dans ÉPICENTRE
Ils sont présentés par mode :
MODE PROPRE 2
-------------
Niveaux      FX1     FY1       C1        FX2     FY2       C2

  2.70       0.0     0.0      0.1       -1.3     1.7     14.2
  5.40       0.0     0.1      0.4       -4.1     6.5     51.0
  8.10      -0.1     0.1      0.8       -7.8    14.3    106.7
 10.80      -0.1     0.2      1.4      -10.7    24.2    173.6
 13.50      -0.1     0.3      1.9      -11.4    35.7    245.1
 16.20       0.0     0.3      2.3       -1.2    44.1    289.6
 18.90       0.0     0.4      2.8        4.3    56.1    356.0
 21.60       0.1     0.5      3.3       11.1    68.4    424.7
 24.30       0.2     0.6      3.9       19.7    80.2    491.8
 27.00       0.2     0.5      3.0       20.2    62.4    379.1
Les indices 1 et 2 des deux groupes de colonnes correspondent aux deux directions sismiques de calcul.
Dans l'exemple ci-dessus, on constate que le mode considéré est surtout excité par la direction sismique n2.